Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel

Posted on Updated on

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

 

1.   Pengertian

Secara umum, SPLKDV terdiri atas sebuah persamaan linear dan kuadrat yang masing-masing mempunyai dua variabel.

SPLKDV dibedakan menjadi 2 macam, yaitu:

a. SPLKDV dengan bagian kuadrat berbentuk Eksplisit

\begin{aligned}y&=ax+b&&\to(\bold{bagian\ linear})\\y&=px^2+qx+r&&\to(\bold{bagian\ kuadrat})\end{aligned}

Dengan syarat a\neq0 dan p\neq0.

b. SPLKDV dengan bagian kuadrat berbentuk Implisit

\begin{aligned}ax+by+c&=0&&\to(\bold{bagian\ linear})\\px^2+qy^2+rxy+sx+ty+u&=0&&\to(\bold{bagian\ kuadrat})\end{aligned}

Dengan syarat a\neq0, p\neq0, b\neq0, dan q\neq0.

2.   Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel

 

a. SPLKDV dengan bentuk kuadrat tidak dapat difaktorkan

Langkah 1:

Pada bagian persamaan linear, nyatakan dalam x dalam y atau y dalam x.

Langkah 2:

Substitusikan nilai x atau y dalam langkah 1 ke bagian kuadrat, sehingga diperoleh Persamaan Kuadrat Satu Variabel (PKSV).

Langkah 3:

Selesaikan PKSV tersebut, kemudian substitusikan nilai-nilai dari PKSV tersebut ke dalam persamaan linear pada langkah 1.

Langkah 4:

Tulislah himpunan penyelesaiannya.

b. SPLKDV dengan bentuk kuadrat dapat difaktorkan

Misalkan SPLKDV dengan bentuk kuadrat dapat difaktorkan, sebagai berikut:

\begin{cases}ax+by+c=0\\px^2+qy^2+rxy+sx+ty+u=0\end{cases}\ \ \ (\bold{sistem\ persamaan\ 1})

Langlah-langkah untuk menyelesaian sistem persamaan ini yaitu:

Langkah 1:

Faktorkan bentuk kuadrat dari sistem persamaan 1

\begin{cases}ax+by+c=0\\(kx+ly+m)(vx+wy+z)=0\end{cases}\ \ \ (\bold{sistem\ persamaan\ 2})

Langkah 2:

Bentuklah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dari sistem persamaan 2

\begin{cases}ax+by+c=0\\kx+ly+m=0\end{cases}\ \ \ (\bold{sistem\ persamaan\ 3})

\begin{cases}ax+by+c=0\\vx+wy+z=0\end{cases}\ \ \ (\bold{sistem\ persamaan\ 4})

Langkah 3:

Selesaikan sistem persamaan 3 dan 4.

Langkah 4:

Tulislah himpunan penyelesaiannya.

B. Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel (SPKDV)

 

1.   Bentuk Umum

Bentuk umum SPKDV adalah sebagai berikut:

\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c&&\to(\bold{bagian\ kuadrat\ pertama})\\y&=px^2+qx+r&&\to(\bold{bagian\ kuadrat\ kedua})\end{aligned}

Dengan syarat a\neq0 dan p\neq0.

2.   Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel

Bentuk grafik persamaan kuadrat y=ax^2+bx+c adalah parabola dan bentuk grafik persamaan kuadrat y=px^2+qx+r adalah parabola juga. Titik potong atau titik persekutuan kedua parabola tersebut merupakan himpunan penyelesaian kedua persamaan tersebut.

Langkah-langkah untuk menyelesaiakan SPKDV yaitu:

Langkah 1:

Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua atau sebaliknya, sehingga diperoleh satu persamaan kuadrat saja (persamaan kuadrat persekutuan).

Langkah 2:

Selesaikan persamaan kuadrat persekutuan tersebut.

Langkah 3:

Substitusikan nilai x yang telah diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau kedua (pilihlah yang paling sederhana agar mudah).

Misalkan diketahui SPKDV:

\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c&&...(1)\\y&=px^2+qx+r&&...(2)\end{aligned}

Dengan syarat a\neq0 dan p\neq0.

Didapat:

\begin{aligned}y&=y\\ax^2+bx+c&=px^2+qx+r\\(ax^2+bx+c)-\left(px^2+qx+r\right)&=0\\(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r)&=0&&\to\text{persamaan kuadrat persekutuan}\end{aligned}

Dengan nilai diskriminan:

\begin{aligned}D&=b^2-4ac\\D&=(b-q)^2-4(a-p)(c-r)\end{aligned}

Banyaknya penyelesaian SPKDV dapat ditentukan sebagai berikut:

a. Jika D>0, maka SPKDV mempunyai 2 penyelesaian.

b. Jika D=0, maka SPKDV mempunyai 1 penyelesaian.

c. Jika D<0, maka SPKDV tidak mempunyai penyelesaian.

This entry was posted in Tak Berkategori.

2 respons untuk ‘Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel’

    Kumpulan Rangkuman Materi dan Contoh Soal Pembahasan Matematika Kelas 10 « Blog Belajar Mas Mico Arrafi said:
    23 Oktober 2016 pukul 9:51 am

    […] 3.   Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel […]

    Suka

    Balas
    raxellwolf said:
    14 September 2018 pukul 9:43 pm

    lebih bagus lagi kalo dikasih contoh soal sama pembahasannya. Trims min

    Suka

    Balas

Tinggalkan komentar