Day: 20 Oktober 2016

Mengenal Matriks beserta Operasi Hitung Matriks

Posted on 20 Oktober 2016

Matriks!

A. Mengenal Matriks

1. Ordo Matriks

Secara umum, matriks $A^{m\times n}$ dapat digambarkan sebagai berikut:

ordo-matriks

2. Transpos Matriks

Transpos matriks dilambangkan dengan $A^T$ atau $A'$ atau $A$ . Transpos dari matriks $A$ berordo $m\times n$ adalah sebuah matriks $A^T$ berordo $n\times m$ .

Matriks $A^T$ dibentuk dengan cara menuliskan setiap baris dari matriks $A$ menjadi kolom pada matriks $A^T$ .

Berikut merupakan hasil transpos dari matriks $A$ :

$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\ \ \Rightarrow\ \ A^T=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}$

3. Kesamaan Dua Buah Matriks

Matriks A dan B dikatakan sama jika matriks A dan B memenuhi syarat berikut:

a. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.

b. Semua elemen yang seletak pada matriks A dan B mempunyai nilai yang sama, yaitu $a_{ij}=b_{ij}$ untuk semua nilai i dan j.

Kesamaan dua buah matriks digunakan untuk menentukan nilai peubah atau variabel pada elemen-elemen suatu matriks.

B. Operasi Hitung pada Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Jika matriks A dan B berordo sama, maka berlaku sifat penjumlahan berikut:

$\boxed{\boxed{A+B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}p&q\\r&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+p&b+q\\c+r&d+s\end{bmatrix}}}$

2. Pengurangan Matriks

Jika matriks A dan B berordo sama, maka berlaku sifat pengurangan berikut:

$\boxed{\boxed{A-B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}p&q\\r&s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a-p&b-q\\c-r&d-s\end{bmatrix}}}$

3. Perkalian Matriks

Perkalian matriks dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu perkalian suatu bilangan real terhadap matriks dan perkalian dua matriks.

a. Perkalian bilangan real terhadap matriks.

$\boxed{\boxed{C=kA=k\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka&kb\\kc&kd\end{bmatrix}}}$

b. Perkalian dua matriks.

Perkalian dua matriks memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1. Tidak komutatif, yaitu $AB\neq BA$ .

2. Asosiatif, yaitu $(AB)C=A(BC)$ .

3. Distributif, yaitu $A(B+C)=(B+C)A=AB+AC$ .

4. Identitas, yaitu $1A=A1=A$ .

5. Jika $AB=O$ , belum tentu $A=O$ atau $B=O$ (O merupakan matriks nol).

6. Jika p dan q bilangan real, maka berlaku $(pA)(qB)=(pq)(AB)$

7. Jika $A^T=B^T$ merupakan transpos dari matriks A dan B berlaku hubungan $(AB)^T=A^TB^T$ .

4. Invers dan Determinan Matriks

Jika $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ , maka determinan dari matriks A dapat dituliskan sebagai $\boxed{\boxed{|A|=ad-bc}}$ .

Jika matriks A memiliki det A ≠ 0, maka A disebut sebagai matriks tak singular atau nonsingular, itu artinya matriks A memiliki invers. Jika matriks A dengan det A = 0, maka A disebut sebagai matriks singular yang berarti matriks A tidak memiliki invers.

Jika $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ , maka invers dari A dapat dituliskan sebagai $\boxed{\boxed{A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}$ .

Jika matriks A dan B merupakan matriks-matriks berordo 2 yang nonsingular, $A^{-1}$ dan $B^{-1}$ secara berturut-turut merupakan invers matriks A dan invers matriks B, maka invers dua matriks memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

$\boxed{\boxed{(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}}$

$\boxed{\boxed{(BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}}}$

$\boxed{\boxed{\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T}}$

5. Persamaan Matriks

Jika matriks A, B, dan X merupakan matriks persegi berordo 2 dan A merupakan matriks nonsingular yang mempunyai invers, maka berlaku rumusan sebagai berikut:

a. Jika $AX=B$ , maka $\boxed{\boxed{X=A^{-1}B}}$